Pokazujemy, że problem największego ważonego zbioru niezależnego (MWIS) można rozwiązać w czasie quasi-wielomianowym w grafach, które nie zawierają indukowanej kopii grafu H  dla każdego H, którego każda spójna składowa jest ścieżką lub podpodzielonym szponem (tzn. drzewem z co najwyżej trzema liśćmi). Uzupełnia to dychotomię złożoności problemu MWIS w grafach wolnych od F dla dowolnego skończonego zbioru grafów F, dzieląc przypadki na NP-trudne oraz takie, które można rozwiązać w czasie quasi-wielomianowym. Wzmacnia to przypuszczenie, że przypadki, które nie są znane jako NP-trudne, są w rzeczywistości rozwiązywalne w czasie wielomianowym.

Kluczowy składnik teoriografowy naszego wyniku jest następujący. Dla ustalonej liczby całkowitej t, niech S_t,t,t będzie grafem utworzonym z trzech ścieżek o t krawędziach, których jeden koniec został połączony w pojedynczy wierzchołek. Pokazujemy, że dla danego grafu G można w czasie wielomianowym znaleźć albo indukowany podgraf S_t,t,t​ w G, albo zrównoważony separator składający się z O(log⁡∣V(G)∣) sąsiedztw wierzchołków w G, albo rozszerzoną dekompozycję pasmową GGG (extended strip decomposition -- dekompozycję niemal równie użyteczną dla rekurencji w MWIS, jak podział na spójne składowe), w której każda składowa ma wagę mniejszą w sensie multiplikatywnym niż waga całego G.

Jest to wzmocnienie wyniku Majewskiego, Masaříka, Novotnej, Okrasy, Pilipczuka, Rzążewskiego i Sokołowskiego [Transactions on Computation Theory 2024], który taką rozszerzoną dekompozycję pasmową uzyskiwał dopiero po usunięciu O(log⁡∣V(G)∣) sąsiedztw wierzchołków. Aby osiągnąć ostateczny wynik, stosujemy zaawansowaną strategię rozgałęziania, opartą na przedstawionym powyżej wyniku strukturalnym.